Tính chu vi hình thoi, diện tích hình thoi, đường chéo hình thoi

Hình thoi là gì? Công thức tính chu vi hình thoi? Công thức tính diện tích hình thoi? Tính đường chéo của hình thoi? Các dạng bài tập về hình thoi thường gặp?

Hình thoi là một trong những dạng hình học phổ biến trong chương trình phổ thông, với nhiều tính chất đặc biệt. Dạng bài tập về hình thoi rất đa dạng nên các em cần nắm vững kiến ​​thức cơ bản về hình thoi như cách tính chu vi, diện tích, đường chéo.

1. Hình thoi là gì?

1.1. Ý tưởng:

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Nói cách khác, hình thoi là hình bình hành có hai cặp cạnh kề bằng nhau hoặc hai đường chéo vuông góc với nhau.

Từ khái niệm trên, có thể hiểu rằng, nếu một hình thoi có bốn cạnh bên bằng nhau và vuông góc thì hình thoi đó được xác định là hình vuông, hay hình vuông là trường hợp đặc biệt của hình thoi.

Ghi chú: Tất cả các hình vuông đều là hình thoi (đặc biệt) nhưng không phải hình thoi nào cũng có thể là hình vuông.

1.2. Tính chất của hình thoi:

Hình thoi có các tính chất sau:

Thứ nhất, hình thoi có các tính chất giống như hình bình hành:

– Các cạnh đối song song và bằng nhau

– Các góc đối đỉnh thì bằng nhau

– Hai đường chéo của hình thoi cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Thứ hai, hình thoi có tổng các góc trong bằng 360 độ.

Thứ ba, hình thoi có hai đường chéo không chỉ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường mà còn vuông góc với nhau.

Thứ tư, hình thoi có hai đường chéo là tia phân giác của các góc trong hình thoi.

1.3. Dấu hiệu nhận biết hình thoi:

Dấu hiệu nhận biết hình thoi là tứ giác bất kì

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Hình thoi là tứ giác có hai đường chéo tạo thành tia phân giác của hình thoi.

Hình thoi là tứ giác có hai đường chéo tạo thành tia phân giác của bốn góc trong.

Dấu hiệu nhận biết hình thoi từ hình bình hành.

Vì hình thoi là trường hợp đặc biệt của hình bình hành nên:

– Hình bình hành có hai cạnh bằng nhau là hình thoi.

– Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

– Hình bình hành có một đường chéo tạo thành tia phân giác của một góc trong là hình thoi.

Ghi chú: Với các dấu hiệu nhận biết trên, mọi tứ giác hoặc hình bình hành chỉ có một dấu hiệu đều được coi là hình thoi.

2. Công thức tính chu vi hình thoi:

Coi cạnh của hình thoi là a.

Công thức tính chu vi hình thoi: Để tính chu vi của một hình thoi, hãy cộng độ dài của bốn cạnh của hình thoi với nhau hoặc nhân độ dài của một cạnh với 4. Cụ thể, công thức như sau:

Xem thêm bài viết hay:  Mẫu báo cáo kết quả thẩm tra lý lịch Đảng viên mới nhất 2023

Chu vi = a + a + a + a = ax 4

Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có các cạnh bằng nhau và dài 5 cm. Chu vi của hình thoi là gì?

Áp dụng công thức tính chu vi hình thoi có cạnh a = 5 cm.

Phần thưởng:

Chu vi hình thoi ABCD là:

5 x 4 = 20 (cm)

Trả lời Chu vi hình thoi ABCD = 20 (cm)

3. Công thức tính diện tích hình thoi:

Diện tích hình thoi bằng nửa tích độ dài hai đường chéo của hình thoi. Đường chéo của hình thoi là đoạn thẳng nối các đỉnh đối diện của hình thoi. Cụ thể công thức như sau:

S = 1/2 x (d1 x d2)

Trong đó: S: là diện tích hình thoi

d1: là độ dài đường chéo thứ nhất

d2: là độ dài đường chéo thứ hai

Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có các đường chéo lần lượt là 12 cm và 8 cm. Diện tích hình thoi ABCD là bao nhiêu?

Phần thưởng:

Diện tích hình thoi ABCD là:

12 x 8: 2 = 48 (cm²)

Trả lời: Diện tích hình thoi ABCD = 48 (cm²)

Ngoài ra do tính chất đặc biệt của hình thoi nên ngoài các công thức trên ta còn có một số công thức tính diện tích riêng hình thoi khác như sau:

đầu tiên, Sử dụng công thức tương tự để tính diện tích hình bình hành:

S = hxa

Trong đó: S: là diện tích hình thoi

h là chiều dài và chiều cao của hình thoi

a: là độ dài một cạnh của hình thoi

Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có cạnh AB = BC = CD = DA = 10 (cm), chiều cao của hình thoi là 5 cm. Tính diện tích hình thoi.

Phần thưởng:

Áp dụng công thức tính diện tích hình thoi với: h = 5 (cm), a = 10 (cm) ta được:

S = axh = 10 x 5 = 50 (cm²)

Vậy diện tích hình thoi ABCD = 50 (cm²)

Thứ hai, tính diện tích hình thoi dựa vào hệ thức trong tam giác (dùng khi biết số đo góc của hình thoi). Cụ thể công thức tính như sau:

S = a² . tội lỗi A = a² . sin B = a² . sin C = a² . tội lỗi DI

Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có cạnh là 4 cm và góc A có số đo là 30°. Tìm diện tích hình thoi ABCD?.

Phần thưởng:

Diện tích hình thoi ABCD là:

S = a² . tội lỗi A = 4² . sin30° = 16 . 1/2 = 8 (cm²)

Vậy diện tích hình thoi ABCD = 8 cm².

Ghi chú:

Khi sử dụng các công thức trên để tính diện tích hình thoi, cần lưu ý một số điều sau để tránh nhầm lẫn:

– Hình thoi đặc biệt là hình vuông chứ không phải hình vuông mà là hình thoi khá giống hình bình hành. Vì vậy, không nên áp dụng công thức tính diện tích hình thoi cho hình vuông.

– Khi áp dụng công thức tính diện tích hình thoi, chu vi hình thoi hay tính đường chéo của hình thoi cần chú ý đến các đơn vị đo để nhận biết đơn vị.

– Trước khi làm bài các em cần đọc kỹ yêu cầu của câu hỏi và quy đổi đơn vị đo trước khi tính toán.

4. Tính đường chéo của hình thoi:

Dựa vào các công thức tính chu vi hình thoi, diện tích hình thoi ở trên, chúng ta cũng dễ dàng tìm được công thức tính đường chéo của hình thoi như sau:

Xem thêm bài viết hay:  Nghị luận về lòng yêu nước của giới trẻ ngày nay hay nhất

* Tính đường chéo của hình thoi khi biết diện tích và độ dài 1 đường chéo là:

Nếu biết diện tích hình thoi, độ dài đường chéo (d1) ta sẽ dễ dàng tìm được đường chéo còn lại của hình thoi theo công thức sau: d2 = 2S/d1.

5. Các hình thức Bài tập hình thoi phổ biến:

5.1. Dạng 1: Tính chu vi, diện tích hình thoi (cơ bản nhất – chủ yếu dành cho học sinh tiểu học)

Bài 1: Tìm diện tích hình thoi có hai đường chéo lần lượt là 16 cm và 20 cm.

Dung dịch:

Diện tích của hình thoi là:

16 x 20 : 2 = 160 (cm2)

Đáp số: 160cm2

Bài 2: Hình thoi ABCD có độ dài đường chéo AC = 15cm, độ dài đường chéo BD bằng 2/3 đường chéo AC. Tính diện tích hình thoi ABCD.

Dung dịch:

Độ dài đường chéo BD là:

15 : 3 x 2 = 10 (cm)

Diện tích hình thoi ABCD là:

15 x 10 : 2 = 75(cm2)

Đáp số: 75cm2

5.2. Dạng 2: Bài toán thực tế (bài tập nâng cao dành cho học sinh tiểu học)

Bài 1: Một hình thoi có độ dài đường chéo thứ nhất là 72m, đường chéo thứ hai bằng 2/3 độ dài đường chéo thứ nhất. Người ta trồng sắn trên diện tích đó, mỗi mét vuông thu hoạch được 5kg sắn. Hỏi khu đó thu hoạch được bao nhiêu ki-lô-gam sắn?

Dung dịch:

Độ dài đường chéo thứ hai là:

72 : 3 x 2 = 48(m)

Diện tích của hình thoi là:

72 x 48 : 2 = 1728(m2)

Số sắn thu hoạch trên đất là:

5 x 1728 = 8640(kg)

Đáp số: 8640 kg sắn

Bài 2: Người ta trồng rau trên một thửa ruộng hình thoi có tổng độ dài hai đường chéo là 50m, đường chéo thứ nhất dài hơn đường chéo thứ hai là 10m. Trên thửa ruộng đó người ta thu hoạch được 100kg rau cải. Hỏi vừa phải Hỏi mỗi mét vuông ruộng thu hoạch được bao nhiêu ki-lô-gam rau?

Dung dịch:

Độ dài đường chéo thứ nhất là:

(50 + 10) : 2 = 30(m)

Độ dài đường chéo thứ hai là:

30 – 10 = 20 (m)

Diện tích của trường hình thoi là:

30 x 20 : 2 = 300(m2)

Hỏi trung bình mỗi mét vuông ruộng thu hoạch được bao nhiêu ki-lô-gam rau là:

300 : 100 = 3(kg)

Đáp số: 3kg rau

5.3. Dạng 3: Chứng minh tứ giác là hình thoi (chủ yếu dành cho học sinh THCS)

Cách 1: Chứng minh tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau:

Ví dụ:

Cho hình bình hành ABCD có AB = AC. Kéo dài trung tuyến AM của ΔABC và lấy ME = MA. Chứng minh rằng tứ giác ABEC là hình thoi.

Theo đầu ra, chúng tôi có:

ΔABC cân tại A có trung tuyến AM

=> AM cũng là tia phân giác của BC

=> Tứ giác ABEC là hình thoi vì hai đường chéo vuông góc với nhau. (d.pcm)

Xem thêm bài viết hay:  Đóng vai ông Hai kể lại chuyện ngắn Làng chọn lọc hay nhất

Cách 2: Chứng minh tứ giác có 4 cạnh bằng nhau

Ví dụ:

Chứng minh rằng trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi.

Xét tam giác ABD có E và H là trung điểm của AB và AD . tương ứng

=> EH là đường trung tuyến của tam giác

=> EH = 1/2 BD (1)

Chứng minh tương tự ta có: EF = 1/2 AC; FG = 1/2 BD; HG = 1/2 AC (2)

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra EH = EF = HG = GF

=> Tứ giác EFGH là hình thoi vì có 4 cạnh bằng nhau. (d.pcm)

Cách 3: Chứng minh tứ giác là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc

Ví dụ: Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng giao điểm các đường phân giác trong của tam giác AOB; BOC; COD và DOA là các đỉnh của hình thoi.

Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm các đường phân giác trong của các tam giác AOB, BOC, COD và DOA.

Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên OA = OC và OB = OD.

Xét ΔBMO và ΔDPO có:

Góc B1 = D1 và Góc O1 = O2 (ngược chiều) và OB = OD (gt)

=> BMO = DPO (gcg)

=> OM = OP và các điểm M, O, P thẳng hàng (6)

Chứng minh tương tự: ON = OQ và N, O, P thẳng hàng (7)

Từ (6) và (7) Suy ra: Tứ giác MNPQ là hình bình hành vì các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. (số 8)

Mặt khác OM, ON là hai tia phân giác của hai góc kề bù nên OM ⊥ ON. (9)

Từ (8) và (9) suy ra: MNPQ là hình thoi vì là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau. (d.pcm)

Cách 4: Chứng minh một tứ giác là hình bình hành có hai cạnh đối bằng nhau

Ví dụ:

Cho tam giác ABC, lấy các điểm D, E theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M, N, I, K lần lượt là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng: IMNK là hình thoi.

Theo giả thiết ta có: M là trung điểm của BE và I là trung điểm của DE

=> MI là đường trung bình động của BDE

=> MI // BD và MI = 1/2 BD

Chứng minh tương tự, ta có:

NK // BD và NK= 1/2 BD

Vì có MI // NK và MI = NK nên tứ giác MINK là hình bình hành (4)

Chứng minh tương tự, ta có: IN là trung bình của CDE

=> IN = 1/2 CE mà CE = BD (gt) => IN = IM (5)

Từ (4) và (5) => Tứ giác MINK là hình thoi vì là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau. (d.pcm)

Chuyên mục: Bạn cần biết

Nhớ để nguồn bài viết: Tính chu vi hình thoi, diện tích hình thoi, đường chéo hình thoi của website thcstienhoa.edu.vn

Viết một bình luận