Tam giác đều là gì? Tính chất, dấu hiệu nhận biết tam giác đều?

Tam giác đều là gì? Dấu hiệu của tam giác đều? Nêu tính chất của tam giác đều? Công thức cho tam giác đều? Ví dụ minh họa và bài tập áp dụng?

Nắm rõ các dấu hiệu và tính chất đặc biệt của tam giác đều sẽ giúp học sinh tự tin nắm vững kiến ​​thức để giải toán; Nó cũng giúp chuẩn bị cho các kỳ thi cuối kỳ hoặc các kỳ thi học sinh giỏi môn toán. Bài viết dưới đây cung cấp cho các em những kiến ​​thức quan trọng về tam giác đều trong chương trình toán THCS.

1. Thế nào là tam giác đều?

Trong hình học, tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau hoặc tương đương và ba góc bằng nhau bằng 60°. Đó là một đa giác đều với các cạnh bằng 3.

Cho tam giác đều ABC, AB = AC = BC.

Hậu quả:

Trong một tam giác đều, mỗi góc bằng 60° .

– Nếu một tam giác có 3 góc bằng nhau thì đó là tam giác đều.

– Nếu tam giác cân có một góc bằng 60° thì đó là tam giác đều.

2. Dấu hiệu nhận biết tam giác đều:

– Tam giác có 3 cạnh bằng nhau là tam giác đều

– Tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều

Tam giác cân có một góc bằng 60 là tam giác đều

Tam giác có hai góc bằng 60 là tam giác đều

Cách chứng minh tam giác đều:

Cách 1: Chứng minh tam giác có 3 cạnh bằng nhau.

Ví dụ: Tam giác OAB có OA = OB = AB

=> tam giác đều OAB

Cách 2: Chứng minh tam giác có 3 góc bằng nhau.

Ví dụ: Chứng minh tam giác OAB có góc O = B = A

=> tam giác đều OAB

Cách 3: Chứng minh tam giác cân và có một góc bằng 60 độ.

Ví dụ: Tam giác OAB có OA = OB và Ô = 60°

=> tam giác đều OAB

Cách 4: Chứng minh tam giác có 2 góc bằng 60 độ.

Ví dụ: Tam giác OAB có góc A = B = 60°

=> tam giác đều OAB

3. Tính chất của tam giác đều:

Trong một tam giác đều, mỗi góc bằng nhau và bằng 60 độ.

Cho tam giác ABC: góc A = góc B = góc C = 60 độ

Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

Nếu ABC là tam giác đều thì: góc A = góc B = góc C

Nếu một tam giác cân có một góc bằng 60 độ thì tam giác đó là tam giác đều.

Trong tam giác đều, đường trung tuyến vừa là đường cao, vừa là tia phân giác của tam giác.

Xem thêm bài viết hay:  Đăng ký môi trường là gì? Đối tượng phải đăng ký môi trường?

Cho tam giác đều ABC, AD là trung tuyến kẻ từ đỉnh A. Gọi AD là đường cao và tia phân giác của tam giác ABC.

Cách dựng tam giác đều:

Cách dựng tam giác đều ABC

– Vẽ cạnh BC

– Vẽ (B; BC) và (C; BC)

– (B; BC) (C; BC) tại A

ABC là tam giác đều cần vẽ.

Trọng tâm của tam giác:

Tính chất của trọng tâm tam giác là: Khoảng cách từ trọng tâm đến ba đỉnh của tam giác bằng 2/3 độ dài trung tuyến ứng với đỉnh đó.

Giả sử tam giác ABC có 3 trung tuyến AM, BN, CP lấy G là trọng tâm như hình vẽ. Theo tính chất trên ta có:

– GA = 2/3 giờ sáng

– GB = 2/3 AN

– GC = 2/3 CP

Xét tam giác đều ABC có G là giao điểm của ba đường trung tuyến của ba đỉnh. Khi đó G vừa là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC.

4. Công thức tính tam giác đều:

4.1. Công thức tính diện tích tam giác đều:

Diện tích tam giác đều bằng 1/2 tích của đáy nhân với chiều cao, công thức như sau:

S = 1/2 (axh)

Phía trong:

S là diện tích của tam giác
một là độ dài cạnh đáy
h là chiều cao

Ví dụ: Tính diện tích tam giác đều:

a, Độ dài một cạnh của tam giác là 6 cm và chiều cao là 10 cm.

b, Độ dài một cạnh của tam giác là 4cm và chiều cao là 5cm.

Câu trả lời:

a, Diện tích tam giác là: (6 x 10) : 2 = 30 (cm.)2)

Đáp số: 30cm2

b, Diện tích hình tam giác là: (4 x 5) : 2 = 10 (cm2)

Đáp số: 10 cm2

Các lưu ý khi tính diện tích tam giác:

– Với tam giác chứa một góc bẹt, chiều cao nằm ngoài tam giác thì độ dài cạnh cần tính diện tích chính bằng độ dài cạnh bên trong tam giác.

– Khi tính diện tích hình tam giác, chiều cao nào ứng với đáy đó.

– Nếu hai tam giác có cùng chiều cao hoặc có cùng chiều cao thì suy ra diện tích của hai tam giác đó tỉ lệ với hai đáy và ngược lại, nếu hai tam giác có chung đáy (hoặc hai đáy bằng nhau) thì tính diện tích Tích của tam giác tỉ lệ với 2 đường cao tương ứng.

4.2. Công thức tính chu vi tam giác đều:

Chu vi tam giác đều bằng tổng ba cạnh của tam giác đó, công thức:

P = a + a + a hay P = 3 xa

Phía trong:

P là chu vi của tam giác
một là cạnh của tam giác

Xem thêm bài viết hay:  Hợp đồng khoán việc là gì? Hợp đồng khoán việc có phải đóng BHXH không?

Ví dụ: Tìm chu vi tam giác đều ABC có độ dài cạnh AB = 5 cm

Câu trả lời:

=> Vì tam giác ABC là tam giác đều nên ta có độ dài các cạnh là: AB = AC = BC = 5cm

Dựa vào công thức tính chu vi tam giác đều ta có: P(ABC) = 5 x 3 = 15cm

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều:

r = trục 3/6

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều:

R = trục √3 / 3

4.3. Công thức tính đường cao của tam giác đều:

Trong tam giác đều, đường cao đồng thời là tia phân giác và trung tuyến

Sự biểu lộ: h = rìu 3/2

Phía trong:

một là độ dài cạnh của tam giác đều

h là chiều cao của tam giác

5. Ví dụ minh họa và bài tập:

5.1. Hình minh họa:

ví dụ 1: Cho ∆ABC, cạnh AB lấy điểm E, cạnh AC lấy điểm F, cạnh BC lấy điểm P sao cho BE = AF = PC. Chứng minh ΔEFP là tam giác đều.

Tự vẽ tranh

hướng dẫn giải

Chúng ta có:

AB = BC = AC

ĐƯỢC = CP = AF

AB = AE + EB; BC = BP + PC; AC = AF + FC

⇒ AE = BP = FC

Xét ba tam giác ΔAFE, ΔBEF và ΔCPF có:

AF = BE = CP (giả định)

AE = BP = FC

Góc A = Góc B = Góc C (góc của tam giác đều)

AFE = BEF = CPF

EF = PE = FP

Do đó EFP là tam giác đều (3 cạnh bằng nhau).

ví dụ 2: Cho tam giác ABC có góc A = 60 độ. Vẽ AD là tia phân giác của góc BAC (D ∈ BC). Từ B kẻ BK ⊥ AC (K ∈ BC) và kẻ BH ⊥ AD tại H.

a) Chứng minh AHB = BKA

b) Tia BH cắt AC tại M. Chứng minh tam giác ABM là tam giác đều.

Tự vẽ tranh

Hướng dẫn giải:

a) Xét hai tam giác vuông AHB và BKA có:

góc BAH= góc ABK= 30 độ

cạnh chung AB

Vậy Δ AHB = Δ BKA (góc cường điệu).

b, Ta có góc ABH = góc BAK (vì AHB = BKA)

Hay góc ABM = góc BAM

Xét tam giác ABM có góc ABM = góc BAM = 60 độ

Vậy tam giác ABM là tam giác đều. (đpcm)

ví dụ 3: Cho tam giác ABC đều. Lấy các điểm D, E, F theo thứ tự trên các cạnh AB, BC, CA sao cho AD = BE = CF. Chứng minh ∆DEF là tam giác đều.

Tự vẽ tranh

Hướng dẫn giải:

Ta có: AB = AD + DB (1)

BC = BE + EC (2)

AC = AF + FC (3)

AB = AC = BC (giả sử) (4)

AD = BE = CF (giả thuyết) (5)

Từ (1), (2), (3), (4) và (5) suy ra:

BD = EC = AF

Xét ∆ADF và ∆BED, ta có:

Xem thêm bài viết hay:  Nước Văn Lang chia làm bao nhiêu bộ? Đứng đầu mỗi bộ là ai?

AD = BE (giả định)

Góc A = góc B = 60 độ (vì tam giác ABC đều)

AE = BD (chứng minh trên)

Suy ra: ∆ADF = ∆BED (cạnh – góc – cạnh)

Suy ra: DF = DE (hai cạnh tương ứng) (6)

Xét ∆ADF và ∆CFE ta có:

QUẢNG CÁO = CF (gt)

Góc A = Góc B (vì ABC chẵn)

EC = AF (chứng minh trên)

Suy ra: ∆ADF = CFE (cạnh – góc – cạnh)

Suy ra: DF = FE (hai cạnh tương ứng) (7)

Từ (6) và (7) suy ra: DF = ED = FE

Vậy ∆DEF chẵn.

Ví dụ 4: Vẽ tam giác đều ABC có cạnh 4 cm.

Dung dịch:

– Vẽ đoạn thẳng BC = 4 cm

– Vẽ cung tròn tâm B bán kính 4 cm.

– Vẽ đường tròn tâm C bán kính 4 cm.

– Hai cung này cắt nhau tại A.

– Nối AB, AC ta được tam giác ABC cần vẽ.

Ví dụ 5: Chứng minh rằng hình bên dưới là tam giác đều

Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác MNP ta có:

Góc M + Góc N + Góc P = 180 độ
Theo hình vẽ Góc N = Góc P = 60 độ

Suy ra: Góc M = 180 – 60 – 60 = 60 độ

Suy ra: Góc M = Góc N = Góc P = 60 độ

Vậy tam giác MNP là tam giác đều vì có ba góc bằng nhau.

5.2. Bài tập ứng dụng:

Bài 1: Cho ΔABC có góc B = 60°, AB = 2cm, BC = 5cm. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BA = BD

a) Chứng minh tam giác ABD đều

b) Gọi H là trung điểm của BD. Chứng minh AH⊥BD

c) Tính độ dài AC

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có \widehat{B}=60^0

. Vẽ Cx vuông góc với BC, trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA (CE , CA cùng phía đối với BC). trên tia đối của tia BC lấy điểm F sao cho BF = BA. Chứng minh :

một. Tam giác đều ACE

b. A, E, F thẳng hàng.

Bài 3: Cho sáu tam giác đều có cùng độ dài cạnh là 3 cm, độ dài cạnh của lục giác đều là bao nhiêu?

A. 3cm

B. 6cm

C.9cm

D.12 cm

Bài 4: “Số đo các góc của lục giác đều … số đo các góc của tam giác đều”. Điền từ còn thiếu vào chỗ trống để được câu đúng.

A. bằng.

B. gấp đôi.

C. nhỏ hơn.

D. lớn hơn.

Trên đây là tổng hợp kiến ​​thức liên quan đến tam giác đều, hi vọng nó hữu ích với các em học sinh trên hành trình nắm vững kiến ​​thức của mình.

Chuyên mục: Bạn cần biết

Nhớ để nguồn bài viết: Tam giác đều là gì? Tính chất, dấu hiệu nhận biết tam giác đều? của website thcstienhoa.edu.vn

Viết một bình luận