Tập hợp các số R là gì? R trong toán học là gì? Làm thế nào để tiếp cận số thực R như tiên đề? Nêu đặc điểm của tập hợp số R và trục số thực R? Một số bài tập minh họa? Ứng dụng của số thực trong đời sống?
Trong chương trình toán lớp 6 THCS chúng ta đã được học về rất nhiều số thực, kí hiệu là R. Vậy số thực R là gì? Các tính chất và đặc điểm của số thực là gì? Trong bài viết dưới đây, chúng tôi sẽ cung cấp một số kiến thức và khái niệm cơ bản để bạn đọc tham khảo.
1. Tập hợp số R là gì?
R là kí hiệu của tập hợp các số thực, tức là tập hợp chứa cả số hữu tỉ và số vô tỉ, R là tập hợp các số lớn nhất trong tập hợp các số tự nhiên N = {0, 1, 2,..} và số nguyên Z = {..-3, -2, -1, 0, 1, 2,,…}.. tất cả đều là tập con bất quy tắc của R. Và cả những số vô tỷ như số pi = 3.13.144592 hoặc = 1.414214…Tất cả những con số chúng ta biết là trong R.
Nói một cách đơn giản, R là tập hợp các số dương (ví dụ: 1, 2, 3), số 0, số âm (-1, 2, -3), số hữu tỷ và số vô tỷ. Nói cách khác, các số thực có liên quan có thể được coi là các điểm trên một dãy số dài vô tận. Tóm lại, số thực là tập hợp các số hữu tỉ và vô tỉ.
Các số thực có ký hiệu R (R = QUI) trong đó:
– N là tập hợp các số tự nhiên
– Z là tập hợp các số nguyên
– Q là tập hợp các số hữu tỉ
– I = RQ tập trung vào các số vô tỉ
Mỗi số thực trên trục số được biểu diễn bằng một điểm. Ngược lại, mỗi điểm trên trục số biểu diễn một số thực. Chỉ tập trung các số thực mới có thể lấp đầy hàng số này.
Tập hợp các số thực được viết dưới dạng: R = ( -∞; +∞)
Ví dụ về số thực trong toán học:
Để hiểu rõ hơn khái niệm R là tập hợp số gì? Nội dung dưới đây sẽ đưa ra những ví dụ cụ thể hơn.
Tập hợp R là kí hiệu của tập hợp các số thực gồm số hữu tỉ và số vô tỉ:
Ví dụ, các số nguyên là: −5, 2, 3, -8…
Các phân số là: 4/3, 8/5,..
Các Số Không Tỷ như: √ 2 (1.41421356…); 3.1456;…
Nhiều người thắc mắc 0 có phải là số nguyên không? Câu trả lời là có, vì số nguyên là tập hợp các số không (0), các số tự nhiên dương và nghịch đảo của chúng, hay còn gọi là số tự nhiên âm. Tập hợp các số nguyên là vô hạn nhưng đếm được và ký hiệu là Z.
2. R trong toán học là gì?
Trong toán học, số thực là giá trị của một đại lượng liên tục có thể biểu thị khoảng cách dọc theo một đường thẳng (hoặc một đại lượng có thể được biểu diễn dưới dạng khai triển thập phân vô hạn). Tính từ “real” được giới thiệu trong ngữ cảnh này vào thế kỷ 17 bởi René Descartes với mục đích phân biệt giữa gốc thực và gốc đa thức. Số thực bao gồm tất cả các số hữu tỷ, chẳng hạn như số nguyên −5 và phân số /3, cũng như tất cả các số vô tỷ, chẳng hạn như căn bậc hai của 2, số pi.
R là các số thực toán học và có các tính chất sau:
Biểu thị các số thực bao gồm một trường thực hiện phép cộng, phép nhân và phép chia cho các số khác không. Chúng có thể được sắp xếp trên một dòng số nằm ngang theo cách tương thích với phép cộng và phép nhân.
Điều này chứng tỏ rằng nếu tập hợp các số thực khác rỗng có cận trên thì nó cũng có cận trên cho các số thực nhỏ nhất.
3. R trong hình học là gì?
R cũng được sử dụng trong công thức tính chu vi hình tròn. Nó không chỉ là một ký hiệu trong đại số, R còn được dùng trong hình học, R đôi khi được dùng để diễn tả bán kính của đường tròn nội tiếp một tam giác. Đặc biệt, R còn được sử dụng trong công thức tính chu vi diện tích hình tròn:
Chu vi: C = dπ = 2r.π
Diện tích: S= R²
4. Tiếp cận số thực R dưới dạng tiên đề:
Tập hợp R là tập hợp các số thực thỏa mãn điều kiện sau:
đầu tiên, Tập hợp R là một trường, tức là phép cộng và phép nhân được xác định và có tính chất chính quy.
Thứ hai, Trường R được sắp thứ tự, nghĩa là tổng theo thứ tự của nó ≥ sao cho mọi số thực x, y và z:
– Nếu x ≥ y thì x + z ≥ y + z;
– Nếu x ≥ 0 và y ≥ 0 thì xy ≥ 0.
Thứ ba, Thứ tự đầy đủ (đầy đủ, đầy đủ), có nghĩa là mọi tập con không rỗng S của R có cận trên trong R đều có cận trên nhỏ nhất (còn gọi là tối cao) trong R.
Ngoài việc đo khoảng cách, các số thực có thể được sử dụng để đo các đại lượng như thời gian, khối lượng, năng lượng, tốc độ và nhiều đại lượng khác.
5. Tính chất của bộ số R và trục số thực R:
– Mọi số thực (trừ 0) đều có số dương và số đối của nó (số âm). Ví dụ: nếu chúng ta có số dương 1, số đối của nó là -1 (số âm).
– Tổng (kết quả của phép hợp) hoặc tích (phép nhân) của hai số thực không âm luôn là một số thực không âm.
– Đây được coi là tính chất cơ bản và dễ nhận biết nhất của tập hợp số thực. Một số thực được coi là một tập hợp vô hạn các số, số lượng của nó lớn vô hạn và không thể đếm được.
Hệ số Tập con vô hạn của số thực
Các đại lượng liên tục có thể được biểu diễn dưới dạng số thực.
– Số thực có thể biểu diễn dưới dạng số thập phân (phân số).
– Một số thực có thể coi là các điểm trên một đoạn thẳng dài vô tận gọi là trục số, trong đó các điểm tương ứng với các số nguyên cách đều nhau. Bất kỳ số thực nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân vô hạn, chẳng hạn như 8,632, trong đó mỗi số tiếp theo được tính bằng một phần mười giá trị của số trước đó. Có thể coi trục số thực là một phần của mặt phẳng phức.
R là viết tắt của số thực toán học và chúng có các tính chất sau:
– Số thực R chứng tỏ nếu tập hợp các số thực khác rỗng có cận trên thì giới hạn trên của nó là các số thực nhỏ nhất.
– Tập hợp R cũng có thể định nghĩa các phép toán như cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa. Các phép toán trên số thực tương tự như các phép toán trên số hữu tỉ.
6. Một số bài tập minh họa:
Hình thức 1: Câu hỏi về bài tập số
Ta có mối quan hệ sau giữa các bộ số: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R; I R. Với: N là tập hợp các số tự nhiên, Z là tập hợp các số nguyên, Q là tập hợp các số hữu tỉ, Z là tập hợp các số vô tỉ, R là tập hợp các số thực.
Mẫu 2: tìm số chưa biết trong một đẳng thức:
– Sử dụng tính chất của các phép toán để tính toán.
– Sử dụng quan hệ giữa tổng và hiệu trong các phép tính. Điều tương tự cũng áp dụng cho phép nhân và phép chia.
– Sử dụng dấu ngoặc đơn và quy tắc chuyển đổi.
Mẫu 3: Tính giá trị của biểu thức đã cho
Phương pháp sử dụng: Tổ hợp nhân, chia, cộng, trừ, lũy thừa. Nhớ luôn rút gọn phân số.
Câu hỏi 1: -4 thuộc tập hợp số nào?
MỘT NGƯỜI PHỤ NỮ
B.Q.
C. tôi
D. RẺ
Đáp án: Chọn đáp án D. RẺ
Câu 2: Dãy số nào sau đây không có căn bậc hai?
MỘT NGƯỜI PHỤ NỮ
B.Z
C . Tôi
D. RẺ
Trả lời: Chọn hai đáp án A. N và BZ
Câu 3: Sắp xếp các số thực sau theo thứ tự tăng dần: 0,466 ; 15/7 ; 0,4636363…; 0,463736 ; 0,4656365…
Trả lời: 0,463763… < 0,463736 < 0,4656365… < 0,466 < 7/15
Câu 4: Hãy tìm các tập hợp:
a) Q ∩ I ; b) R ∩ I .
Câu trả lời:
a) Q ∩ I = Ø ; b) RI = Tôi
Câu 5: Tìm x, biết: 3,5.x + (-1,5).x +2,4 = -4,7 ;
Hướng đi
3,5.x + (-1,5).x +2,4 = -4,7
[3,5 + (-1,5)].x + 2,4 = -4,7
2.x = -4,7
x = -2,35
Câu 6: Điền dấu ∈, ∉, ⊂ thích hợp vào chỗ trống (…):
a) 3…. hỏi ; 3…. R ; 3… tôi ; -2,53… Q ;
b) 0,2(35) …. TÔI ; N…. Z ; TÔI…. r.
Câu trả lời:
a) 3 ∈ Q ; 3 r ; 3 ∉ tôi ; -2,53∈ Q ;
b) 0,2(35) ∉ I ; N ∈ Z ; Tôi
Câu 7: Điền số thích hợp (…) :
a) – 3,02 < – 3, … 1
b) – 7,5 … 8 > – 7,513 ;
c) – 0,4 … 854 < – 0,49826
d) -1, … 0765 < – 1,892.
Câu trả lời:
a) – 3,02 < – 301
b) – 7,508 > – 7,513 ;
c) – 0,49854 < – 0,49826
đ) -1,90765 < - 1,892.
7. Ứng dụng của số thực trong đời sống:
7.1. Vật lý:
Trong khoa học vật lý, hầu hết các hằng số vật lý, chẳng hạn như hằng số hấp dẫn phổ quát và các biến vật lý như vị trí, khối lượng, vận tốc và điện tích, được mô hình hóa bằng cách sử dụng các con số. Trên thực tế, các lý thuyết vật lý cơ bản như cơ học cổ điển, điện từ học và cơ học lượng tử thường là các đa tạp trơn hoặc không gian Hilbert, dựa trên các số thực, mặc dù các phép đo thực tế của các đại lượng vật lý này với độ chính xác hữu hạn.
Các nhà vật lý đôi khi gợi ý rằng một lý thuyết cơ bản hơn thay thế các số thực bằng các đại lượng không tạo thành một chuỗi liên tục, nhưng những đề xuất như vậy vẫn chỉ là suy đoán.
7.2. Môn Toán:
Với một vài ngoại lệ, hầu hết các máy tính không hoạt động trên các số thực. Thay vào đó, chúng hoạt động với các xấp xỉ có độ chính xác hữu hạn được gọi là số dấu phẩy động. Trên thực tế, hầu hết các tính toán khoa học đều sử dụng số học dấu phẩy động. Số thực tuân theo các quy tắc số học bình thường, nhưng số dấu phẩy động thì không.
Máy tính không thể lưu trữ trực tiếp các số thực tùy ý với vô số chữ số. Độ chính xác có thể đạt được bị giới hạn bởi số bit được phân bổ để lưu trữ số, cho dù đó là số dấu phẩy động hay số chính xác tùy ý. Tuy nhiên, các hệ thống đại số máy tính có thể hoạt động chính xác với các đại lượng vô tỷ bằng cách thao tác các công thức thay vì các xấp xỉ hữu tỷ hoặc thập phân của chúng. Nói chung, không thể xác định xem hai biểu thức như vậy có bằng nhau hay không (bài toán hằng số).
Một số thực được gọi là tính toán được nếu có một thuật toán in ra các chữ số của nó. Vì chỉ có nhiều thuật toán là đếm được và số thực là không đếm được nên hầu như tất cả các số thực đều không đếm được. Hơn nữa, sự bằng nhau của hai số tính toán được là một bài toán khó giải. Một số nhà toán học theo thuyết kiến tạo chấp nhận sự tồn tại của các số thực chỉ đếm được. Phạm vi của các số có thể xác định rộng hơn, nhưng vẫn chỉ có thể đếm được.
Chuyên mục: Bạn cần biết
Nhớ để nguồn bài viết: R là tập hợp số gì? R là gì trong toán học? Bài tập minh họa? của website thcstienhoa.edu.vn