Nguyên hàm là gì? Bảng nguyên hàm và công thức nguyên hàm?

Hàm nguyên thủy là gì? Thiên nhiên? Công thức đổi biến? Công thức nguyên hàm từng phần? Bảng nguyên thủy? Các phương pháp giải bài toán nguyên hàm?

Bài toán nguyên hàm là bài toán khó thường gặp trong các bài kiểm tra hay đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 12. Ở đây có một ít. phương pháp Cách giải dạng toán này và một số ví dụ minh họa, mời bạn đọc cùng tham khảo.

1. Nguyên hàm là gì?

1.1. Định nghĩa:

Cho hàm số f(x) xác định trên K . Hàm số F(x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x ) trên K nếu F'(x ) = f(x ) với mọi x thuộc K.

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm f (x ) được ký hiệu là ∫ f (x ) = F (x )+ C .

Chú ý: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

1.2. Định lý:

Định lý 1:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên K, thì với mỗi hằng số C, hàm G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K .

Chứng minh: Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K nên (F(x))’ = f(x). Vì C không đổi nên (C)’ = 0.

Ta có: (G(x))’ = (F(x) + C)’ = (F(x))’ + (C)’ = f(x) + 0 = f(x)

Vậy G(x) là một nguyên hàm của f(x).

Định lý 2:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên K, thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, trong đó C là một hằng số.

Chứng minh: Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K, tức là G'(x) = f(x), x ∈ K. Khi đó:

(G(x) – F(x))’ = G'(x) – F'(x) = f(x) – f(x) = 0, x ∈ K.

Vậy G(x) – F(x) là hàm hằng trên K. Ta có:

G(x) – F(x) = C ⇒ G(x) = F(x) + C, x ∈ K.

Xem thêm bài viết hay:  Bệnh vô cảm là gì? Tại sao bị vô cảm? Tác hại của vô cảm?

2. Thuộc tính:

∫ f(x) dx)’ = f(x) + C

Thuộc tính này được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của nguyên hàm. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên K thì F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

∫ kf(x) dx=k∫ f(x) dx (với k 0)

Ta có kf(x) = F(x).

Vì k ≠ 0 nên f(x) = 1/k . F'(x) = [1/k . F(x)].

Chứng minh theo tính chất 1, ta có:

(k f(x) đx) = k( [1/k . F(x)]’. đx) = k. { [1/k.F(x)] + ) = F(x) + k.Đầu tiên (Đầu tiên R)

=F(x) + C (vì Đầu tiên tùy ý phụ thuộc vào R và k≠ 0 nên C = k. CŨĐầu tiên tùy thuộc vào R)

=kf(x)đx

Nếu f và g là hai hàm liên tục trên KỲ sau đó [f(x) ± g(x)] dx = ∫f(x) dx ± ∫ g(x) dx.

Chứng tỏ:

– Cho F(x) là nguyên hàm của f(x), G(x) là nguyên hàm của g(x).

– Tìm đạo hàm hai vế và kết luận.

Phần thưởng:

Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x).

Chúng ta có f(x)=FS(x), g(x)=GỖS(x).

tôi đoán [f(x) ± g(x)] đx= [F(x) ± G(x)] đx

=[F(x) ± G(x)]S đx = F(x) ± GỖ(x) +

vâng một lần nữa f(x) đx ± g(x) đx= FS(x) đx ± GỖS(x) đx = F(x) ± GỖ(x) + .

Vì thế [f(x) ± g(x)] đx = f(x) đx ± g(x) đx

∫ kf(x) dx=k∫ f(x) dx (với k ≠ 0) ∫ [k. f(x) + l. g(x)] dx=kf(x) dx + lg(x) dx

3. Công thức quy đổi biến:

f [u(x)] u’ (x)dx = F [u(x)] + CŨ

4. Công thức nguyên hàm từng phần:

udv = uv – vdu

5. Bảng nguyên thủy:

Một số qui định nguyên thủy cơ bản:

– Tích của đa thức hoặc lũy thừa → khai triển.

– Tích của hàm mũ → khai triển theo công thức mũ.

– Bậc chẵn của sin hoặc cos → bậc thấp hơn: sin2 a=1/2-1/2 cos 2a;

Xem thêm bài viết hay:  Phân tích nhân vật Tràng trong truyện ngắn Vợ nhặt siêu hay.

cos2 a=1/2+1/2 cos 2a

Chứa tích các nghiệm của x → chuyển thành luỹ thừa.

6. Các phương pháp giải bài toán nguyên hàm:

6.1 Phương pháp biến:

Nếu f(x)dx = F(x) + C thì f [u(x)]. u’ (x) dx = F [u(x)] + CŨ

Giả sử chúng ta cần tìm họ các nguyên hàm I = ∫ f(x) dx, trong đó chúng ta có thể phân tích hàm đã cho f(x) = g[ u(x) ]. u'(x) thì ta thực hiện phép biến đổi đặt biến t = u(x) ⇒ dt = u'(x) dx. Khi đó ta thấy I = g

Nếu bậc của tử số P(x) ≤ bậc của mẫu số Q(x) → phân tích mẫu Q(x) thành tích các số, sau đó sử dụng phương pháp chia để trở về công thức hàm ban đầu.
Nếu mẫu không thể phân tích dưới dạng tích số → cộng hoặc trừ để thay đổi biến hoặc lượng giác bằng cách đặt X = a tan t, nếu mẫu được trả về dạng X2 + một2

6.3 Nguyên hàm từng phần:

Cho hai hàm số u và v liên tục trên [a;b] và có đạo hàm liên tục trên [a;b]. Sau đó, chúng tôi nhận được:

udv = uv – vdu

Để tính nguyên hàm ∫ udv = uv – ∫ vdu theo phương pháp từng phần, ta làm như sau: Bước 1:

Chọn u, v sao cho f(x)dx = udv (Chú ý dv = v'(x)dx)

Tính: v = ∫ dv và du =u’dx. Bước 2:

Thay vào công thức

và tính ∫vdu.

Cần chọn u và dv hợp lý để dễ tìm v hơn và tích phân ∫ vdu dễ tính hơn ∫ udv. Mẹo nhớ: “Nhất lô, nhì lô, ba số, bốn mũ”Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết x2 – 3x + 1 là một nguyên hàm của hàm f(x)/ x, họ tất cả các nguyên hàm của hàm f'(x). e

gấp đôi

đượcCâu trả lời: tôi có x2 – 3x +1 là nguyên hàm của hàm số f(x)/x nên f(x)/x = (x

Xem thêm bài viết hay:  Ray Tracing là gì? Công nghệ Ray Tracing có gì đột phá?

2– 3x +1)’ = 2x – 3. Vậy f(x) = 2x2 – 3x suy ra f'(x) = 4x – 3. Xét I = ∫ (4x – 3). e

gấp đôidx. Đặt u= 4x – 3; đv = egấp đôi

dx từ đó du = 4dx; v = 1/2 đ

gấp đôiSau đó chúng tôi có:Tôi = ∫(4x–3). e [(4x – 3). e2x] gấp đôidx =/2 – 2e [(4x – 3). e2x] gấp đôidx =/2 – e [(4x – 5. e2x)/2] gấp đôi

+ C = +C.

Ví dụ 2:

Tìm ∫ sin 5x. cosx dx. [cos6x)/6] Ta có: ∫ sin5x. cos x dx = 1/2 (sin6x + sin4x) dx

= 1/2 {- – 1/4. cos 4x} + C = -1/12. cos 6x – 1/8. cos4x+C.

Ví dụ 3:

Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = 1/(x-2), thỏa mãn F(3) = 1 và F(1) = 2, giá trị của F(0) + F ( 4) bằng bao nhiêu:

Câu trả lời:Hàm f(x) xác định trên R/{2}. Ta có: F(x) = ∫ f(x) dx = ∫ 1/ (x-2) . dx= { Trong (x – 2) + CĐầu tiên khi x > 2 ; In (2 – x) + Kích thước

2khi x < 2. Do { F(3) = 1; F(1) = 2 {CĐầu tiên = 1; CŨ

2

= 2. Khi đó F(x) = { In (x – 2) + 1 khi x > 2; In (2-x) + 2 khi x < 2.

Do đó: F(0) + F(4) = ( Trong 2+2) + (Trong 2+1) = 2 Trong 2+3.Một số bài tập: [f(x)] Bài tập 1: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(2) = -1/5 và f'(x) = x3

2

với mọi x ∈ R. Giá trị của f(1) là bao nhiêu? Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:một) x.2

x dxb)(x2 -1) e

xdx Bài 3: Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết x2 – 3x + 1 là một nguyên hàm của hàm f(x)/ x, họ tất cả các nguyên hàm của hàm f'(x).e

2xgì?

Chuyên mục: Bạn cần biết

Nhớ để nguồn bài viết: Nguyên hàm là gì? Bảng nguyên hàm và công thức nguyên hàm? của website thcstienhoa.edu.vn

Viết một bình luận