Hoán vị là gì? Công thức hoán vị? Các loại hoán vị? một sự kết hợp là gì? Công thức tổ hợp? Ví dụ kết hợp? căn chỉnh là gì? Một số bài tập?
Hoán vị, thẳng hàng, tổ hợp là những kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Mời các bạn tham khảo bài viết sau về kiến thức Hoán vị, Tổ hợp, Tổ hợp.
1. Thế nào là một hoán vị?
Trong toán học, Hoán vị liên quan đến hành động sắp xếp tất cả các phần tử của một tập hợp thành một trình tự hoặc thứ tự nào đó. Nói cách khác, nếu tập hợp đã được sắp xếp, thì việc sắp xếp lại các phần tử của nó được gọi là hoán vị. Hoán vị xảy ra, theo những cách ít nhiều nổi bật, trong hầu hết mọi lĩnh vực của toán học. Chúng thường phát sinh khi xem xét các bậc khác nhau trên các tập hữu hạn nhất định.
2. Công thức hoán vị:
Công thức hoán vị n đối tượng để chọn r đối tượng được cho bởi: P(n,r) = n!/(nr)!
Ví dụ: số cách xếp vị trí thứ 3 và thứ 4 cho 10 thành viên là: P(10, 2) = 10!/(10-2)! = 10!/8! = (10.9.8!)/8! = 10 x 9 = 90
3. Các loại hoán vị:
Hoán vị có thể được phân loại thành ba loại khác nhau:
đầu tiên, hoán vị của n đối tượng khác nhau;
Thứ hai, Hoán vị khi cho phép lặp lại;
Thứ ba, Hoán vị của nhiều tập hợp
3.1. Hoán vị của n đối tượng khác nhau:
Nếu n là một số nguyên dương và r là một số nguyên sao cho r < n, thì P(n, r) biểu thị số lượng tất cả các cách sắp xếp hoặc hoán vị có thể có của n đối tượng riêng biệt. sự khác biệt được thực hiện r tại một thời điểm. Trong trường hợp hoán vị không lặp lại, số lượng các lựa chọn có sẵn sẽ giảm đi mỗi lần. Nó cũng có thể được biểu diễn dưới dạng: N P r .
P(n, r) = n(n-1)(n-2)(n-3)……..r thừa số tối đa
P(n, r) = n(n-1)(n-2)(n-3)……..(n – r +1)
⇒P(N,r)=N! / (Không)!
Nơi đây, ” N P r ” đại diện cho “n” đối tượng được chọn từ các đối tượng “r” mà không lặp lại, trong đó thứ tự quan trọng.
Ví dụ: Có bao nhiêu từ có 3 chữ cái có nghĩa hoặc không có nghĩa có thể được tạo thành từ các chữ cái của từ SWING khi không cho phép lặp lại các chữ cái?
Phần thưởng: Ở đây n = 5, vì từ SWING có 5 chữ cái. Vì phải sắp xếp 3 từ có nghĩa hoặc không có nghĩa và không lặp từ nên tổng số cách hoán vị có thể có là
⇒P(N,r)=5! / (5-3)!= (5×4×3×2×1) / (2×1)=60
3.2. Hoán vị khi cho phép lặp lại:
Chúng ta có thể dễ dàng tính toán hoán vị với sự lặp lại. Các hoán vị với sự lặp lại của các đối tượng có thể được viết bằng dạng hàm mũ.
Khi số lượng đối tượng là “N” và chúng ta có “r” là đối tượng được chọn, sau đó;
Có thể chọn một đối tượng theo n cách khác nhau (mỗi lần).
Do đó, hoán vị của các đối tượng khi được phép lặp sẽ là,
n × n × n × ……(r lần) = N r
Đây là công thức hoán vị để tính số hoán vị có thể có để chọn các mục “r” từ các đối tượng “n” khi cho phép lặp lại.
Ví dụ: Có bao nhiêu từ có 3 chữ cái có nghĩa hoặc không có nghĩa có thể được tạo thành từ các chữ cái của từ KHÓI khi cho phép lặp từ?
Dung dịch:
Số đối tượng, trong trường hợp này, là 5, vì từ KHÓI có 5 bảng chữ cái.
và r = 3, vì bạn phải chọn một từ có 3 chữ cái.
Do đó, hoán vị sẽ là:
Hoán vị (khi cho phép lặp lại) = 5 3 = 125
3.3. Hoán vị của nhiều tập hợp:
Hoán đổi n đối tượng khác nhau khi P Đầu tiên Đối tượng ‘ N ‘ cùng một đối tượng, P 2 đối tượng cùng loại 2, P 3 đối tượng cùng loại 3 ………… vân vân, P k các đối tượng loại k giống nhau và phần còn lại đều thuộc loại khác,
Do đó, nó tạo thành một tập hợp gồm nhiều tập hợp, trong đó hoán vị đã cho là:
N!/ (P1!P2!P3…..PN!)
4. Tổ hợp là gì?
Tổ liên kết là một cách chọn các mục từ một bộ sưu tập, sao cho (không giống như hoán vị) thứ tự lựa chọn không thành vấn đề . Trong các trường hợp nhỏ hơn, số lượng kết hợp có thể được tính. Kết hợp đề cập đến sự kết hợp của n việc được thực hiện k lần mà không lặp lại. Để chỉ các kết hợp trong đó cho phép lặp lại, thuật ngữ k lựa chọn hoặc k kết hợp có lặp lại thường được sử dụng.
5. Công thức tổ hợp:
Về mặt toán học, công thức xác định số cách sắp xếp có thể bằng cách chỉ chọn một vài đối tượng từ một tập hợp không lặp lại được biểu thị như sau:
Nơi đây:
- N – tổng số phần tử của tập hợp
- k – số đối tượng được chọn (thứ tự các đối tượng không quan trọng)
- ! – yếu tố
Giai thừa (ký hiệu là “!”) là tích của tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng số đứng trước dấu giai thừa. Ví dụ, 3! = 1 x 2 x 3 = 6.
Lưu ý rằng công thức trên chỉ có thể được sử dụng khi các đối tượng từ một bộ được chọn mà không lặp lại.
6. Ví dụ về sự kết hợp:
Bạn là nhà quản lý danh mục đầu tư trong một quỹ phòng hộ nhỏ. Bạn đã làm
Vì đây là một quỹ mới nên bạn đã quyết định đưa năm cổ phiếu có trọng số bằng nhau vào danh mục đầu tư ban đầu của mình và sau một năm, bạn sẽ xem xét hiệu suất của danh mục đầu tư và thêm các cổ phiếu mới nếu điều đó hiệu quả. của quỹ thành công. Hiện tại, bạn muốn xác định có bao nhiêu danh mục đầu tư khả thi mà bạn có thể tạo từ các cổ phiếu được các nhà phân tích của bạn xác định.
Nghề nghiệp
Do đó, bạn có thể sử dụng công thức kết hợp để tính số cách sắp xếp có thể:
Có 15.504 danh mục đầu tư có thể có của năm cổ phiếu có thể được tạo ra từ 20 cổ phiếu lọt vào danh sách.
7. Căn lề:
Cho tập hợp A có n phần tử. Một bộ gồm k (1 <= k <= n) phần tử thứ tự sắp xếp của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập hợp A.
Công thức phù hợp:
Kí hiệu chỉnh hợp chập k của n phần tử:
Ví dụ về căn chỉnh:
Hỏi: Có bao nhiêu cách sắp xếp ba học sinh Lan, Tuyết, Anh vào hai ghế đã cho?
Câu trả lời: đường.
Như vậy có 6 cách sắp xếp ba học sinh Lan, Tuyết, Anh vào hai ghế đã cho.
8. Một số bài tập:
Bài tập 1: Cách tính số tổ hợp và số hoán vị nếu n = 14 và r = 3
Phương pháp hoán vị và tổ hợp lớp 11:
Theo câu hỏi, n = 14
r = 3
Bằng cách rút ra công thức hoán vị-
n P r = (n!)/(nr)! = 14! / (14 – 3)! = 14! /11! = (14 X 13 X 12 X 11!) / 11! = 2184
Bây giờ, từ công thức kết hợp-
n C r = ( nr ) = n P r / r! = n! /{r! (số)!} = 14! /3! (14 – 3)! = 14! /3! (11!) = 14 X 13 X 12 X 11! /2! X11! =1092
Bài tập 2:
(1) Từ 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số?
(2) Với sự lặp lại?
(3) Không lặp lại?
Giải toán tổ hợp và hoán vị lớp 11:
Vì sẽ có một số có 4 chữ số nên gọi chữ số đó là ABCD. Ở đây, D là vị trí hàng đơn vị, C là vị trí thứ 10, B là vị trí thứ 100 và A là vị trí hàng nghìn.
– Bây giờ, lặp lại, tại vị trí của D, số chữ số có thể có là 4. Ngoài ra, tại các vị trí của A, B và C, số chữ số có thể có là 5.
Vậy tổng 4 chữ số có thể có là 4 X 4 X 4 X 4 = 256
– Số các chữ số có thể có ở vị trí của D là 4; vì vậy nó là vị trí đơn vị. Hiện tại,
Nếu không lặp lại, một chữ số sẽ bị chiếm tại D. Vì vậy, đối với vị trí C, chữ số đó có thể là 3 và sẽ có 2 chữ số có thể có cho B và 1 cho A.
Do đó, tổng 4 chữ số không lặp lại có thể có là 4 X 3 X 2 X 1 = 24.
Bài tập 3:
Có bao nhiêu cách chọn 2 chữ cái trong dãy chữ X, Y, Z? (Gợi ý: Trong bài toán này, thứ tự KHÔNG quan trọng; nghĩa là, XY được coi là lựa chọn giống như YX.)
Dung dịch: Một cách để giải quyết vấn đề này là liệt kê tất cả các lựa chọn có thể có của 2 chữ cái từ tập hợp X, Y và Z. Đó là: XY, XZ và YZ. Vì vậy, có 3 kết hợp có thể.
Một cách tiếp cận khác là sử dụng Quy tắc:
Số lượng kết hợp của N đối tượng lấy r tại một thời điểm là
N CŨ r = n(n – 1)(n – 2) … (n – r + 1)/r! = n! /r!(n – r)!
Quy tắc trên cho chúng ta biết rằng số tổ hợp là n! /r!(n – r)!. Chúng tôi có 3 đối tượng riêng biệt nên n = 3. Và chúng tôi muốn sắp xếp chúng theo nhóm 2, vì vậy r = 2. Vì vậy, số lượng kết hợp là:
3 CŨ 2 = 3! / 2!(3 – 2)! = 3! /2!1! = (3)(2)(1)/(2)(1)(1) = 3
Chuyên mục: Bạn cần biết
Nhớ để nguồn bài viết: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp là gì? Lý thuyết và các dạng bài tập? của website thcstienhoa.edu.vn