Cấp số cộng là gì? Công sai là gì? Công thức tính cấp số cộng?

Cấp số cộng là một dãy số có tính chất đặc biệt. Và thường xuyên xuất hiện trong các bài toán. Dưới đây sẽ cung cấp những thông tin cần thiết cho bạn về phép cộng, tính chất và công thức thường gặp.

1. Khái niệm về cấp cộng? Chuyện gì thế? Ví dụ?

Cấp độ cộng là dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) gồm các số hạng thỏa mãn điều kiện từ số hạng thứ 2 trở đi bằng số hạng đứng trước nó cộng với một số không đổi.

Số hạng không đổi đó được gọi là . Công sai.

Công thức:

bạnN = Un-1 + d (n>=2)

Ví dụ:

– Dãy hằng số có các số hạng không đổi là một số mũ cộng với công bội bằng O.

– Dãy số tự nhiên 2; 4; 6; số 8; 10;… là số mũ cộng với hiệu của 2.

2. Tính chất phụ gia?

Nếu là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mọi số hạng (trừ số hạng cuối cùng đối với một cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng liền kề nó trong dãy.

Công thức:

Un = (Un-1 + Un+1: 2

Cái ví thí dụ:

Ta có 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là: 10; thứ mười hai; 14

Khi đó (10+14):2 = 1

3. Tính công sai của cấp số cộng?

Số d gọi là công sai của cấp số cộng. Khi đó công thức tính công bằng là:

Công thức:

d=Un+1 – bạnN

Ví dụ:

Ta có dãy 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25 là một số mũ cộng với công sai d = 4

vì: 25-21=4; 21-17=4;…

4. Số hạng chung của cấp số cộng:

Nếu phép cộng ban đầu là một phần tử và hiệu là d, thì số hạng thứ n của phép cộng được tính bằng công thức cấp số cộng sau đó:

bạnN= Uđầu tiên+ (n-1)d

Ví dụ:

Cấp số cộng là 5,9,13;…n. biết một dãy gồm 7 số.

Khi đó: số hạng thứ n bằng: 5 + 6,4 = 29.

5. Một số công thức khác:

5.1. Công thức liên hệ giữa hai số hạng bất kỳ

bạnN= Utôi + (nm)d

5.2. Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên (tổng riêng thứ n) cho đến số hạng thứ nhất và số hạng thứ n

SN = Uđầu tiên+U2+ …+ UN = (n(U1+Un)/2)

6. Một số dạng bài tập tính cộng:

6.1. Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng

Bước 1: Tìm công bội khi biết hai số hạng liên tiếp theo công thức: d=un–un–1,∀n≥2.

Xem thêm bài viết hay:  Tả một người thân đang làm việc ngắn gọn chọn lọc hay nhất

Bước 2: Phần kết luận:

Nếu d là hằng số thì dãy (un) là CSC.

Nếu d thay đổi theo n thì dãy (un) không phải là CSC.

Cái ví thí dụ: Cho dãy số sau: 3; 5; 7; 9; 13. Dãy số trên có phải là một số cộng không?

Phương sai của dãy số trên là: 5-3=2; 7-5=2; 13-9=4.

Do làm sai nên có sự thay đổi.

Do đó, dãy số trên không phải là một cấp số cộng.

6.2. Dạng 2: Tìm hiệu của cấp số cộng:

Ví dụ: Cho một cấp số cộng (Un) có U1=1 và tổng của 100 số hạng đầu tiên là 24850. Sự khác biệt là gì?

tôi có SẼ100 = 24850

(n(1+ Un)/2) = 24850

bạn100 = 496

Vì vậy, bạn100 = 1= 99đ

d= (24850-1)/99

d=5

6.3. Dạng 3: Tìm các số hạng của cấp số cộng:

Cho cấp số cộng UN có bạnđầu tiên = 5, d = 4 . Hãy tính U26

Chúng ta có :

bạn26 = Uđầu tiên + (26 – 1) d

= 5 + (26 – 1) x 4

=105

6.4. Dạng 4: Tính tổng n số hạng đầu tiên:

Ví dụ: Một cấp số cộng (uN) biết rằng số hạng đầu uđầu tiên = 5, số hạng thứ 11 là u11 = 25. Tính tổng 11 số hạng đầu của dãy này?

Áp dụng công thức Sn=(u1+un)n2

bạnđầu tiên= 5

bạn11= 25

n = 11

Dựa vào công thức trên ta tính được tổng của 11 số hạng đầu tiên: Sn=(5+25)2.11=165

6.5. Dạng 5: Tìm cấp số cộng:

Làm:

Tìm các thừa số xác định của một cấp số cộng như: số hạng đầu u1, hiệu d.

Tìm công thức của số hạng tổng quát un=u1+(n–1)d

Cái ví thí dụ: Lập cấp số cộng sao cho tổng n số hạng đầu tiên bằng n=1 lần nửa số hạng thứ hai

7. Một số bài tập ví dụ:

Câu hỏi 1: Chứng minh dãy số (uN) với bạnN = 17n + 2 là cấp số cộng

Phương hướng Giải thích chi tiết:

Tôi có bạnn+1 = 17(n + 1) + 2 = 17n + 19

=> Thương hiệu: un+1 – bạnN = (17n + 19) − (17n + 2) = 17

Xuất phát: (uN) là cấp số cộng cộng với công sai d=17.

Câu 2: Cho cấp số cộng (uN)

a) (bạnN) có số hạng tổng quát là: uN= 7n – 3. Tính100.

b) (bạnN) có bạn2+ bạn22 = 40. Tính toán

c) (uN) có bạn4 + bạnsố 8+ bạnthứ mười hai + bạn16 = 224. Tính toán19.

Xem thêm bài viết hay:  Tham ô là gì? Phân biệt tham ô tài sản và tham nhũng tài sản?

Phương hướng Giải thích chi tiết:

a) Từ công thức số hạng tổng quát

Chúng ta có:

Thuật ngữ đầu tiên: uđầu tiên = 7 . 1 – 3 = 4;

Số hạng thứ hai là: u2 = 7 . 2 – 3 = 11;

Hiệu chung: d = 11 – 4 = 7

Sau đó chúng tôi có:

S100=n2u1+(n−1)d2=100[2.4+(100−1).7]2=35050

b) Ta có: u2+u22=40⇔u1+d+u1+21d=40⇔2u1+22d=40

Vậy S23=232u1+22d2=23.402=460.

c) Ta có: u4+ bạnsố 8 + bạnthứ mười hai+ bạn16 = 224

⇔u1+3d+u1+7d+u1+15d=224⇔4u1+36d=224⇔u1+9d=56

Vậy S19=192u1+18d2=19u1+9d=19,56=1064.

Câu 3: Cho dãy số (uN) với bạnN = 2n + 3. Chứng minh rằng dãy (uN) không phải là một cấp số cộng.

Phương hướng Giải thích chi tiết:

Tôi có bạnn+1 = 2n+1 + 3

Tín hiệu kiểm tra: un+1 – bạnN = (2 .)n+1 + 3) − (2N + 1)= 2n+1 – 2N

=> (bạnn+1 – bạnN) không phải là hằng số; cũng phụ thuộc vào n. Vậy dãy số (uN) không phải là một cấp số cộng.

Câu 4: Chứng minh rằng:

a) Nếu ba số a, b, c lập thành một phép cộng thì ba số x, y, z cũng lập thành một phép cộng với: x = a2– bc, y = b2– ca, z = c2 – được.

b) Nếu phương trình x3– cây rìu2+ bx – c = 0 có 3 nghiệm lập thành cộng thì 9ab = 2a3 + 27c.

Phương hướng Giải thích chi tiết:

a) a, b, c cộng nên a + c = 2b

Cần chứng minh rằng x, y, z cũng lập thành một phép cộng tức là x + z = 2y.

Ta có 2y = 2b2 – 2ca

Và x + z = a2 + c2 – b(a + c)

= (a + c)2 – 2ac – 2b2

= 4b2 – 2ac – 2b2

= 2b2 – 2ac = 2y

Sau đó, chúng tôi nhận được: y=x+z2y=x+z2

Vì vậy, chúng tôi có một cái gì đó để chứng minh.

b) Giả sử phương trình có ba nghiệm xđầu tiênx2x3lập thành một cấp số cộng rồi 😡đầu tiên+ x3 = 2 lần2 (đầu tiên)

Mặt khác 😡3 – cây rìu2 + bx – c = (x – xđầu tiên)(x – x2)(x – x3)

= x3 – (xđầu tiên + x2 + x3)x2 + (xđầu tiên x2 + x2 x3 + x3 xđầu tiên)x – xđầu tiên x2 x3

suy ra xđầu tiên + x2 + x3 = một (2)

Từ (1) và (2) ta được 3×2=a⇔x2=a33x2=a⇔x2=a3

Vì phương trình đã cho có nghiệm x2=a3x2=a3, đó là:

(a3)3−a(a3)2+b(a3)−c=0⇔−2a327+ba3−c=0⇔9ab=2a3+27ca33−aa32+ba3−c=0⇔−2a327+ba3−c= 0⇔9ab=2a3+27c

Vì vậy, chúng tôi có một cái gì đó để chứng minh.

Câu 5: Tính các tổng sau:

a) S = 1 + 3 + 5 +… + (2n – 1) + (2n + 1)

b) S = 1 + 4 + 7 +… + (3n – 2) + (3n + 1) + (3n + 4)

c) S = 1002– 992+ 982 – 972 +… + 22 – đầu tiên2

Phương hướng Giải thích chi tiết:

a) Ta có dãy số 1;3;5;…;(2n – 1);(2n + 1) là một cấp số cộng cộng với công sai d = 2 và uđầu tiên = 1, thuật ngữ chung uk= bạnđầu tiên+ (k – 1)d.

Xem thêm bài viết hay:  Tại sao nước ta công nghiệp hóa phải gắn liền với hiện đại hóa?

Ta kiểm tra xem 2n + 1 là số mấy trong dãy: 2n + 1 = uđầu tiên + (k – 1)d

. Như vậy dãy có n + 1 số hạng.

Vì thế .

b) Ta có dãy số 1; 4; 7; … (3n – 2);(3n + 1);(3n + 4) là số mũ cộng với công sai d = 3 và uđầu tiên= 1, thuật ngữ chung uk= bạnđầu tiên + (k – 1)d.

Ta kiểm tra xem 2n + 1 là số mấy trong dãy: 3n + 4 = uđầu tiên + (k – 1)d

. Vậy dãy có n + 2 số hạng.

Vì thế .

c) S = 1002– 992 + 982– 972 +… + 22 – đầu tiên2

= (100 – 99)(100 + 99) + (98 – 97)(98 + 97) +… + (2 – 1)(2 + 1)

= 199 + 195 +… + 3

= 3 + 7 +… + 195 + 199

Ta có dãy số 3; 7; …195; 199 là cấp số cộng cộng với công sai d = 4, số hạng đầu uđầu tiên = 3 và số hạng thứ n là uN = 199.

Do đó có 199=3+n−1,4⇒n=50.

Vì thế .

Câu 6: Cách giải quyết: Một nhà máy đăng tuyển công nhân với mức lương đãi ngộ như sau: Quý 1 nhà máy trả 6 triệu đồng/quý và từ quý 2 sẽ tăng lên 0,5 triệu cho 1 quý. Với cách xử lý trên thì sau 5 năm làm việc ở nhà máy tổng tiền lương của công nhân đó là bao nhiêu?

Phương hướng Giải thích chi tiết:

Giả sử công nhân làm việc cho nhà máy trong n quý, khi đó tiền lương được ký hiệu là (uN) (triệu đồng)

Theo chủ đề:

quý đầu tiên: uđầu tiên = 6

Quý tiếp theo: un+1 = bạnN + 0,5 với n 1

Tiền lương mỗi quý của công nhân là một số hạng của dãy uN. Mặt khác lương quý sau cao hơn lương quý trước 0,5 triệu nên dãy uN là một số mũ cộng với công sai d = 0,5.

Ta biết 1 năm sẽ có 4 quý => 5 năm sẽ có 5,4 = 20 quý. Theo y/c của bài toán ta cần tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng (uN).

lương quý 20 của công nhân: u20 = 6 + (20 – 1).0,5 = 15,5 triệu đồng

Tổng lương công nhân nhận được sau 5 năm làm việc tại nhà máy: 215 (triệu đồng)

Chuyên mục: Bạn cần biết

Nhớ để nguồn bài viết: Cấp số cộng là gì? Công sai là gì? Công thức tính cấp số cộng? của website thcstienhoa.edu.vn

Viết một bình luận